二次関数

二次関数のグラフです。

二次関数は，実数a,b,cをもちいて

y=ax²+bx+c（a,b,c∊ℝ,a≠0）

と表されます。

傾きは

y´=2ax+b

で，xの値により変化します。

　また，a<0 のときは上に凸で最大値を，a>0 のときは下に凸で最小値をもちます。

その座標は，平方完成によって求められ

y=ax²+bx+c（a≠0）

=a(x+b/2a)²-b²/4a+c

となりますから，(x,y)=(-b/2a,-b²/4a+c) です。

これは，y´=0 とすることでも求められ，2ax+b=0 より x=-b/2a ですから，平方完成と同様の結果がえられます。

　二次方程式の解は，二次関数とx軸の交点のx座標です。

ax²+bx+c=0（a≠0）

a(x²+b/ax)+c=0

a(x+b/2a)²+c-b²/4a=0

a(x+b/2a)²=b²/4a-c

a(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a

(x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²

x+b/2a=±√(b²-4ac)/2a

x={-b±√(b²-4ac)}/2a

さらに，b=2b´ とすれば

x={-b´±√(b´²-ac)}/a

よって，二次方程式 ax²+bx+c=0 (a≠0) の解は x={-b±√(b²-4ac)}/2a です。

どうでしょうか？

初等数学で解の公式を学び x={-b±√(b²-4ac)}/2a と暗記していた人は多くとも，式変形によるその導出過程を覚えている人は少ないかも知れません。